弗洛伊德最短路径算法

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2.1k 词

题目描述

在带权有向图G中，求G中的任意一对顶点间的最短路径问题，也是十分常见的一种问题。

解决这个问题的一个方法是执行n次迪杰斯特拉算法，这样就可以求出每一对顶点间的最短路径，执行的时间复杂度为O(n3)。

而另一种算法是由弗洛伊德提出的，时间复杂度同样是O(n3)，但算法的形式简单很多。

可以将弗洛伊德算法描述如下：

1.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。

2，对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是则更新它。

把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i][j]=d，d表示该路的长度；否则G[i][j]=无穷大。定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i][j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i][j]=j。把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i][j] = min( G[i][j], G[i][k]+G[k][j] )，如果G[i][j]的值变小，则D[i][j]=k。在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

https://baike.baidu.com/item/Floyd%E7%AE%97%E6%B3%95/291990

在本题中，读入一个有向图的带权邻接矩阵（即数组表示），建立有向图并按照以上描述中的算法求出每一对顶点间的最短路径长度。

输入

输入的第一行包含1个正整数n，表示图中共有n个顶点。其中n不超过50。

以后的n行中每行有n个用空格隔开的整数。对于第i行的第j个整数，如果大于0，则表示第i个顶点有指向第j个顶点的有向边，且权值为对应的整数值；如果这个整数为0，则表示没有i指向j的有向边。当i和j相等的时候，保证对应的整数为0。

输出

共有n行，每行有n个整数，表示源点至每一个顶点的最短路径长度。如果不存在从源点至相应顶点的路径，输出-1。对于某个顶点到其本身的最短路径长度，输出0。

请在每个整数后输出一个空格，并请注意行尾输出换行。

样例输入

1
2
3
4
5
4
0 3 0 1
0 0 4 0
2 0 0 0
0 0 1 0

样例输出

1
2
3
4
0 3 2 1 
6 0 4 7 
2 5 0 3 
3 6 1 0

提示

在本题中，需要按照题目描述中的算法完成弗洛伊德算法，并在计算最短路径的过程中将每个顶点是否可达记录下来，直到求出每一对顶点的最短路径之后，算法才能够结束。

相对于迪杰斯特拉算法，弗洛伊德算法的形式更为简单。通过一个三重循环，弗洛伊德算法可以方便的求出每一对顶点间的最短距离。

另外需要注意的是，为了更方便的表示顶点间的不可达状态，可以使用一个十分大的值作为标记。而在题目描述中的算法示例使用了另外一个三维数组对其进行表示，这使原本的O(n3)时间复杂度增长到了O(n4)，这也是需要自行修改的部分。

如果两点x,y不可达，请输出$e[x][y]$ $=$ $-1$

题解

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import java.util.Scanner;
public class Main {
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
    static int[][] w;
    static int n;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        while (input.hasNext()) {
            n = input.nextInt();
            w = new int[n + 1][n + 1];
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    w[i][j] = input.nextInt();
                    if (i != j && w[i][j] == 0)
                        w[i][j] = INF;
                }
            }
            floyd();
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    if (w[i][j] == INF) w[i][j] = -1;
                    System.out.print(w[i][j] + " ");
                }
                System.out.println();
            }
        }
        input.close();
    }
    private static void floyd() {
        for (int k = 1; k <= n; k++)
            for (int i = 1; i <= n; i++)
                for (int j = 1; j <= n; j++)
                    if (w[i][k] < INF && w[k][j] < INF)
                        w[i][j] = Math.min(w[i][j], w[i][k] + w[k][j]);
    }
}